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“4.1.2利用二分法求方程的近似解预习课件(北师大版数学)”由人教版教师资源网精心整理,注册即可下载!

内容介绍

自主学习·基础知识

易误警示·规范指导

合作探究·重难疑点

课时作业

3.1.2用二分法求方程的近似解

[学习目标]1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解.(难点)3.会用二分法求一个函数给在定区间内的零点.从而求得方程的近似解.(易混点)

一、二分法的定义

对于在区间[a,b]上_______________________的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________,使区间的两个端点_______________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

连续不断且f(a)·f(b)<0

一分为二

逐步逼近零点

二、二分法的步骤

给定精确度ε,用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下

(1)确定区间[a,b],验证___________,给定精确度ε;

(2)求区间(a,b)的中点c;

(3)计算f(c),

若f(c)=0,则__________;

若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈_______);

若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈_______).

f(a)·f(b)<0

c就是零点

(a,c)

(c,b)

(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b),否则重复(2)~(4).

1.判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.()

(2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点.()

(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.()

【答案】(1)×(2)×(3)×

2.已知函数f(x)的图象如图3-1-1,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()

A.4,4 B.3,4

C.5,4 D.4,3

【解析】由图象知函数f(x)与x轴有4个交点,因此零点个数为4,从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)<0,因此不能用二分法求零点,而其余3个均可使用二分法求零点.

【答案】D

3.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间为()

A.[-2,1] B.[-1,0]

C.[0,1] D.[1,2]

【解析】由f(-2)·f(1)<0知初始区间可以取[-2,1].

【答案】A

预习完成后,请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中

问题1

问题2

问题3

问题4

(1)下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是()

(2)下列函数中不能用二分法求零点的是()

A.f(x)=3x-1B.f(x)=x3

C.f(x)=|x| D.f(x)=lnx

【解析】(1)A中,函数无零点.B和D中,函数有零点,但它们均是不变号零点,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,故选C.

(2)结合函数f(x)=|x|的图象可知,该函数在x=0的左右两侧函数值的符号均为正,故其不能用二分法求零点.

【答案】(1)C(2)C

二分法求函数零点的依据:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.

所以x0∈(6.75,7).

再取区间(6.75,7)的中点x3=6.875,

用计算器算得f(6.875)≈0.094,

因为f(6.75)·f(6.875)<0,

所以x0∈(6.75,6.875).

再取区间(6.75,6.875)的中点x4=6.8125,用计算器算得f(6.8125)≈0.443,

因为f(6.8125)·f(6.75)<0,

所以x0∈(6.75,6.8125).

由于|6.75-6.8125|=0.0625<0.1,

用二分法求函数零点的近似值关键有两点:一是初始区间的选取,符合条件(包括零点),又要使其长度尽量小;二是进行精确度的判断,以决定是停止计算还是继续计算.

本题中将函数改为“f(x)=log2x+x-4”,试判断函数零点个数;并求零点的近似值.(精确度0.1)

由图知,y1=log2x与y2=4-x的图象只有一个交点,因为f(2)=log22+2-4=-1<0,

f(3)=log23+3-4=log23-1>log22-1=0,

所以函数f(x)=log2x+x-4只有一个零点,在区间(2,3)内.

取区间(2,3)的中点x1=2.5,

用计算器算得f(2.5)≈-0.178,

因为f(2.5)·f(3)<0,

所以x0∈(2.5,3).

再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,

用计算器算得f(2.75)≈0.209,

因为f(2.5)·f(2.75)<0,

所以x0∈(2.5,2.75).

再取区间(2.5,2.75)的中点x3=2.625,

用计算器算得f(2.625)≈0.017,

因为f(2.5)·f(2.625)<0,

所以x0∈(2.5,2.625).

再取区间(2.5,2.625)的中点x4=2.5625,

用计算器算得f(2.5625)≈-0.080,

因为f(2.5625)·f(2.625)<0,

所以x0∈(2.5625,2.625).

由于|2.625-2.5625|=0.0625<0.1,

所以函数f(x)=log2x+x-4零点的近似值可取2.5625.

用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).

【思路探究】构造函数f(x)=2x3+3x-3→确定初始区间(a,b)→二分法求方程的近似解→验证|a-b|<0.1是否成立→下结论

【解】令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,

所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,

即方程2x3+3x=3在(0,1)内有解.

取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,

又f(1)>0,

所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.

如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:

(a,b)

中点c

f(a)

f(b)

f()

(0,1)

f(0)<0

f(1)>0

f(0.5)<0

(0.5,1)

0.75

f(0.5)<0

f(1)>0

f(0.75)>0

(0.5,0.75)

0.625

f(0.5)<0

f(0.75)>0

f(0.625)<0

(0.625,0.75)

0.6875

f(0.625)<0

f(0.75)>0

f(0.6875)<0

1.根据函数的零点与相应方程解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的,所以求方程f(x)=0的近似解,可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.

2.对于解方程f(x)=g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.

用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据:

1.125

1.25

1.375

1.625

1.75

1.875

2x

2.18

2.38

2.59

2.83

3.08

3.36

3.67

区间

区间中点值xn

f(xn)的值及符号

(1,2)

x1=1.5

f(x1)=0.33>0

(1,1.5)

x2=1.25

f(x2)=-0.37<0

(1.25,1.5)

x3=1.375

f(x3)=-0.035<0

(1.375,1.5)

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.

2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足:

(1)在区间[a,b]上连续不断;

(2)f(a)·f(b)<0.

上述两条的函数方程可采用二分法求得零点的近似值.

3.确定函数的零点、方程的根所在的区间时,通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反.

对精确度理解不准确致误

用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解(精确度0.1).

【易错分析】解答本题的易错点是对“精确度0.1”理解不正确,忽视阴影处区间长度与精确度的比较,无法确定零点最终所在区间导致错误.

【防范措施】要时刻关注区间两个端点之差的绝对值,只有此值小于精确度ε时,才能停止计算,否则还要继续计算下去.如本例区间(2.2,2.25)的长度为0.05,

它小于给定的精确度0.1,所以此区间内任意实数都可以作为原方程的近似解.

【解】令f(x)=x2-5.

因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,

所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.

取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29,

因为f(2.2)·f(2.3)<0,

所以x0∈(2.2,2.3).

再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.0625,

因为f(2.2)·f(2.25)<0,

所以x0∈(2.2,2.25).

由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,

因此原方程的近似正解可取为2.25.

[类题尝试]

计算f(9.5)≈0.0304,

因为f(9)f(9.5)<0,

所以零点x0∈(9,9.5).

取区间(9,9.5)的中点x2=9.25,

计算f(9.25)≈-0.0068,

因为f(9.25)f(9.5)<0,

所以零点x0∈(9.25,9.5).

取区间(9.25,9.5)的中点x3=9.375,

计算f(9.375)≈0.0120,

因为f(9.25)f(9.375)<0,

所以零点x0∈(9.25,9.375).

取区间(9.25,9.375)的中点x4=9.3125,

计算f(9.3125)≈0.0026,

因为f(9.25)f(9.3125)<0,

所以零点x0∈(9.25,9.3125),

因为|9.3125-9.25|=0.0625<0.1,

所以原函数零点的近似值可取为9.3125.

【答案】9.3125(不唯一)

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